La historia de la fórmula Black-Scholes. ¿Cómo se les ocurrió la fórmula?

La ecuación diferencial

La ecuación la comenzó a desarrollar Fischer Black luego de comenzar a trabajar en Arthur D. Little, Inc. y conocer a Jack Treynor, quien ya trabajaba allí, en 1965. Jack fue la chispa que despertó el interés de Black por las finanzas. Luego de colaborar con su compañero y de investigar temas relacionados empezó a desarrollar una fórmula para valuar garantías, esto sucedió entre el 68´ y el 69´. En aquella época pensaban más en garantía que en opciones, por que el mercado de opciones era demasiado imperfecto. Se trataba de encontrar el valor de una garantía tomando el valor esperado de la garantía el día que expiraba y se lo descontaba al presente. Ese método tiene 2 problemas: tener que saber el retorno esperado de la acción para encontrar el valor esperado de la garantía al momento en que expira, y tener que elegir una tasa de descuento para la garantía. Ninguna tasa de descuento servirá por que el riesgo de la garantía depende del precio de la acción  y del tiempo. Por lo tanto, la tasa de descuento depende del precio de la acción y del tiempo. Ningún paper había lidiado con este problema.
Un paso clave para resolver este problema es escribir el valor de la garantía como una formula que dependa del precio de la acción y de otros factores. Al mismo tiempo que Black usaba este acercamiento, Samuelson y Merton también lo usaban en un trabajo que apareció en 1969 (aunque no llegaron a la misma fórmula).
Otras cosa que hizo posible resolver el problema fue una serie de supuestos: los costos de transacción son iguales a cero, prestar y pedir prestado puede ser a una tasa única a corto plazo constante a lo largo del tiempo, y que la volatilidad de la acción es constante, lo que significa que el precio futuro de la acción sigue una distribución de logaritmo normal. La ecuación decía que el retorno esperado de una garantía debería depender del riesgo de la garantía de la misma manera que el retorno de una acción depende de su riesgo. Aplicó el capital asset pricing model para cada momento en la vida de una garantía, para cada posible precio de acción y valor de garantía. Dicho de otro modo, usó el capital asset pricing model para describir como la tasa de descuento para una garantía varia con el tiempo y el precio de la acción.
Eso resultó en la ecuación diferencial. Era una ecuación para la formula de la garantía. Sólo tenía una solución, si es que se usaba el valor conocido de la garantía en el momento de expiración y otra condición que Black no conocía en aquel momento.
Black no podía resolver la ecuación, y no la reconoció como una versión de la ecuación de calor la cual tiene muchas soluciones conocidas.
No obstante, notó que varios factores en la ecuación original no estaban en la ecuación final. El valor de la garantía no parecía depender de cómo el riesgo de la acción se dividiera entre riesgo diversificable y riesgo no diversificable (que no se lo puede hacer desaparecer ni disminuir). Dependía sólo del riesgo total de la acción. La garantía no dependía del retorno esperado de la acción, o del retorno esperado de cualquier otro activo. Pero como todavía no podía llegar a la formula dejo el problema de lado y continuo trabajando en otras cosas.
En 1969 Myron Scholes (ver: http://mfinpersonal.blogspot.com.ar/2014/09/myron-scholes-phd-in-economics-mba.html) estaba en el MIT, y la oficina de Fisher Black estaba en Boston, donde el realizaba investigaciones y consultaría. Myron invitó a Fischer a unírsele en investigaciones en el MIT. Empezaron a trabajar en el problema de las opciones e hicieron un rápido progreso.

La fórmula
Primero se concentraron en el hecho de que la formula dependería de la volatilidad activo subyacente, eso quiere decir que podían resolver el problema con cualquier retorno esperado del stock.
Asumieron que el retorno esperado era igual a la tasa de interés (asumiendo tasa de interés constante, corto plazo igual a largo plazo), es decir que, el beta del stock era cero, todo el riego podía ser diversificado. También, asumieron que la volatilidad del stock era constante (expresada en porcentaje), lo que les facilitó conocer verosimilitud de cada posible valor de una inversión en un stock en el momento de expiración de la opción. Sabían que el valor terminal de un stock, incluidos sus dividendos reinvertidos, debería ser como una distribución de logaritmo normal.
Pero ellos no querían el valor terminal esperado de la opción, querían el valor presente de la opción: el valor en algún momento antes de la maduración. Entonces tenían que encontrar alguna manera de descontar el valor terminal esperado de la opción al presente.
De repente se dieron cuenta. Estaban buscando una formula que relacionara el valor de la opción con el valor del stock. Si el stock tenía un retorno esperado igual a la tasa de interés, también lo tenía la opción. Después de todo, si todo el riesgo del stock era diversificable también lo seria el riesgo del stock. Y si el beta del stock era cero, el beta de la opción también lo seria.
Si la opción siempre tenía un retorno esperado igual a la tasa de interés, entonces la tasa de descuento que nos llevaría el valor esperado futuro de la opción a su valor presente siempre seria la tasa de interés.
Entonces descontaron el valor terminal esperado de la opción a una tasa de interés constante para obtener el valor presente de la opción. Luego tomaron la formula de Sprenkle, le agregaron la tasa de interés para el retorno esperado del stock, y agregaron la tasa de interés, devuelta, para la tasa de descuento de la opción. Así obtuvieron la Option Formula. Chequearon la fórmula contra la ecuación diferencial, y por supuesto, encajaba. Le hicieron unos cambios y también servia para los Puts.
Robert Merton hizo unas sugerencias que la mejoraron y luego empezó a trabajar en un paper sobre aspectos de la formula.

La intuición detrás de la fórmula Black-Scholes

El argumento de cobertura (hedge) original que subyace a la fórmula de Black-Scholes es algo intuitivo. La idea contiene 3 partes.
La primer parte reconoce que un call sobre un stock aumenta su valor cuando el valor del stock aumenta. Esto es por que a medida que el precio del stock aumenta, es más probable que el precio del stock se encuentre por arriba del precio de ejercicio (strike) al momento de maduración. Por ende, el Call es más valioso hoy.
La segunda parte usa una implicancia de esta intuición. Según la parte uno, una posición
vendida (short) en el stock puede ser usada como cobertura (hedge) contra cambios en el valor del call para su tenedor. Una posición vendida (short) en un stock es equivalente a tener un número negativo de acciones. En la practica, el vendedor en short pide prestado el stock y se lo vende a un tercero, prometiendo repagar el stock al broker en el futuro cualquiera sea el precio del stock en el momento futuro. Para ver como funciona esta cobertura con opciones, supongamos que el precio del stock se incrementa en un corto periodo de tiempo, aumentando el valor de la opción. Al estar vendido (short) en el stock, sin embargo, decrece el valor dado que repagar el stock al broker va a costar mas en el futuro. Estos cambios en el valor se compensan parcialmente mutuamente, por eso es una cobertura parcial. De manera inversa, si el precio del stock cae durante un breve periodo de tiempo, el valor de un Call para ese stock decrece en valor, pero la posición short en el stock incrementa el valor. Repito, esto produce una cobertura (hedge) parcial.
La tercera parte modifica la posición parcialmente cubierta en el Call comprado (long call) y el stock vendido para hacerla una cobertura perfecta en un corto periodo de tiempo. De hecho, bajo ciertas hipótesis, es posible determinar el número exacto de acciones de stock (menor a 1) para quedar vendido en cada call comprado. Para cualquier cambio en el precio del stock, el cambio en el valor del call esta perfectamente compensado por el cambio en el valor por la posición short del stock. Esto resulta en un portafolio perfectamente cubierto. Este portafolio perfectamente cubierto luego sólo identificara el precio libre de arbitraje. Por que? El portafolio requiere una inversión inicial conocida y no tiene riesgo durante un periodo de tiempo dado. Entonces, para evitar el arbitraje (ganancias sin riesgo de perdida), por que el portafolio cubierto es libre de riesgo, y tiene que percibir la tasa libre de riesgo, la cual es observable.
De otra manera, se podría obtener ganancias comprando el portafolio cubierto y vendiendo los activos libres de riesgo. Esta restricción determina el cambio en el valor de un call como función del valor de un precio de stock subyacente y la tasa libre de riesgo. Mas precisamente, determina una ecuación diferencial parcial satisfecha por el valor del call, cuya solución es formula Black-Scholes.
La idea de construir un portafolio perfectamente cubierto es la intuición clave del approach de Black-Scholes, mas importante aun que su formula de valuación.
De hecho, si se considera el significado de un portafolio perfectamente cubierto, se vuelve aparente que eso implica que una posición en el stock y el activo libre de riesfgo se puede crear que exactamente duplique los cambios en valor del Call. Esta posición es llamada “opción sintética” (synthetic option) por que genera los pagos de un call sin tener que tomar la posición de esa opción.
La solución para la ecuación diferencial parcial obtenida del portafolio perfectamente cubierto, la fórmula Black-Scholes, depende de ciertas variables: el precio de ejercicio, la fecha de maduración, la fecha actual, precio actual del stock, la tasa libre de riesgo, y la volatilidad del precio del stock (desvío estándar) por unidad de tiempo. Estas cantidades son observables directamente o fácilmente estimables. Lo más importante es que no depende explícitamente del retorno esperado del stock o, de manera equivalente, del premio al riesgo (risk premium) del stock. Esta independencia fue la que diferencio a la formula de las otras que eran inaplicables, desarrolladas en los 60’.
La formula tiene 2 supuestos fundamentales. El primero es que la tasa de interés libre de riesgo es constante. El segundo es que la distribución del precio del stock tiene una volatilidad constante. Estas condiciones son validas para opciones de corto plazo sobre acciones e índices de acciones. No aplican muy bien a derivados sobre tasa de interés o swaps sobre moneda extranjera.



Premio Nobel


El comunicado de prensa formal de la Real Academia Sueca de Ciencias anunciando el Premio Nobel en Economía de 1997 establece que el honor es dado por un nuevo método para determinar el valor de derivados. Robert Merton y Myron Scholes habían, en colaboración con el difunto Fischer Black, desarrollado una fórmula pionera para la valuación de opciones sobre stocks (stock options).

Conclusión

El aporte de Scholes, Black y Merton tuvo un impacto substancial.
Su metodología allanó el camino para valuaciones económicas en varias áreas. También ha generado nuevos instrumentos financieros, y facilitado una más eficiente gestión del riesgo en la sociedad. La formula Black-Scholes es sólo “la punta del iceberg”, su impacto en la ciencia es mucho mayor de lo que muchos imaginan.
Es increíble que les haya costado tanto poder publicar su trabajo, ya que muchos Journals les rechazaban el paper. Sólo cuando Merton Miller y Eugene Fama tomaron interés en el paper, y lo recomendaron para su publicación, este trabajo se volvió público.
Su trabajo en valuación de opciones (option pricing) no solo proveyó de una técnica para valuar, sino que también creo un nuevo campo en finanzas, conocido como derivados. Y ofreció una nueva perspectiva en áreas relacionadas como finanzas corporativas, presupuesto de capital, mercados financieros e instituciones. Más aun, su impacto llego a las matemáticas, la informática y los negocios privados.
La teoría de valuación de opciones de Scholes, Black y Merton es reconocida por muchos académicos como la aplicación más exitosa de teoría económica en la historia de la economía.

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